|
RAZVOJ GRČKE MATEMATIKE
OD TALESA DO ARHIMEDA
TALES - PITAGORA - EUKLID - ARHIMED
Narod koji mi nazivamo Grcima, a koji je sam sebe nazivao Helenima, govorio
je dijalektima jedinstvenog indoevropskog jezika, te su se Grci iz različitih
krajeva mogli međusobno razumevati. Ova značajna jezička zajednica je
još pre 600-te godine pre n.e. osnovala nezavisne gradove-države od ulaza
u Crno more duž prostrane obale Male Azije, na mnogim ostrvima, kao i
na kopnu koje danas nazivamo Grčkom. Ona je obuhvatala Kipar, Krit i nekoliko
gradova-država južne Italije i Sicilije: Krotonu, Eleju, Tarent i Sirakuzu.
Tokom 350-323. godine pre n.e. vojske Filipa i Aleksandra
Makedonskog osvojile su Srednji istok i ceo Egipat. Posle Aleksandrove
smrti, njegovi generali osnovali su dinastije od kojih su najinteresantnije
dinastija Ptolomeja u Egiptu i Seleukida u Siriji i Mesopotamiji. Od tada
pa tokom šest vekova, grad Aleksandrija, osnovan 322. godine pre n.e.
u slavu osvajača, bio je prestonica grčke kulture i riznica njihove naučne
literature. U celom periodu rimske dominacije, koji počinje razarenjem
Kartagine na kraju trećeg Punskog
rata, grčki jezik zadržao je svoju premoć kao sredstvo za prenošenje
znanja, a grčka jezička zajednica ostala je netaknuta i na još većoj teritoriji
nego sto je bila pre toga.
U početku su se Grci bavili matematikom imajući jedan osnovni cilj –
da se shvati kakvo mesto zauzima čovek u vasioni, i to u okviru
neke racionalne sheme. Matematika je doprinela da se uvede red, da
se ideje povežu u logične nizove i da se otkriju osnovni principi.
O epohi formiranja grčke matematike možemo da zaključujemo samo na osnovu
manjih fragmenata, koji se nalaze u kasnijim radovima, kao i na osnovu
zapažanja filozofa i drugih autora koji nisu bili samo matematičari.
U vreme pojave prvih zapisa o grčkoj matematici, grčki pomorci i trgovci
su bili već naučili od svojih egipatskih mušterija, da za pisanje upotrebljavaju
papirus, koji se mogao lakše nositi i čuvati nego glinene tablice starih
semitskih civilizacija. U međusobno udaljenim zajednicama istoga jezika,
bogati trgovci i pomorci ovladali su pismenošću, bez uticaja neke moćne
svesteničke kaste. Oni su bili spremni da prilagode korisno znanje, sticano
na putovanjima, praktičnim potrebama.
Period tokom koga su grčke mediteranske zajednice dale trajan doprinos
razvoju matematike može se podeliti u tri velike faze. Prva,
koja nije ostavila nikakvih pisanih tragova, proteže se od Talesa
i Pitagore do Demokrita,
približno od 600-400. godine pre n.e. Osnovu druge faze
predstavlja učenje Platona
(430-349. godine pre n.e.). Ona kulminira u Euklidovom
sistemu, koji se veoma oslanjao na Eudoksa (408-355. godine
pre n.e.), Platonovog učenika. Euklidova smrt prethodi nekoliko godina
Arhimedovom rođenju (oko 287. godine pre n.e.) čija naklonost
ka pronalascima predstavlja početak treće faze. Treću fazu
tj. aleksandrijsku fazu odlikuje odstupanje od formalizama
i jak osećaj za praktičnu primenu matematike.
Grčka tradicija ističe Talesa kao osnivača grčke
matematike mada o tome nema dokumentovanih podataka, ranijih od jednog
veka posle Talesove smrti. Pretpostavlja se da se datum smrti Talesa podudara
sa datumom rođenja Pitagore i sa stupanjem na presto persijskog kralja
Kira, koji je kasnije podvrgao svojoj vlasti grčke gradove u Maloj aziji.
Tales (Tales Milećanin, Thales)
(oko 625-548. godina pre n.e.)
Tales iz Mileta,
svestrano obrazovan filozof, bio je aktivan kao matematičar i kao državnik.
Njega su ubrajali u sedam mudraca. Kao matematičar poznat je po Talesovoj
teoremi. Tales se smatra prvim Helenom koji je izlagao i dokazao teoreme.
Iako mnogi navode da je Tales prvi dokazivao teoreme, verovatno je to
da nije koristio strogi logički način dokazivanja već crteže u pesku koristeći
očiglednost kao najjači argument. Pripisuje mu se sledećih pet teorema:
1. Prečnik polovi krug
2. Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki
3. Naspramni uglovi koje formiraju dve prave koje se seku su jednaki
4. Ugao upisan u polukrug je prav
5. Trougao je određen jednom stranicom i uglovima naleglim na nju
Talesova teorema: Ako su A, B i C tačke na krugu gde
je AC prečnik kruga, tada je ugao ABC prav ugao.
Dokaz:
Koristimo pretpostavku da je zbir uglova u trouglu jednak zbiru dva prava
ugla i da su dva ugla jednakokrakog trougla jednaka.
Neka je O centar kruga. Neka su OA=OB=OC, OAB i OBC su jednakokraki trouglovi
i zbog jednakosti uglova u jednakokrakim trouglovima važi da su jednaki
uglovi OBC=OCB=δ i BAO=ABO=γ
Dobijamo:
2γ + γ ′ = 180° odavde je γ ′ =180°-2γ
2δ + δ ′ = 180° odavde je δ ′ =180°-2δ
Takođe znamo da je
γ ′ + δ ′ = 180°
Zamenjujući γ ′ i δ ′ iz prve dve jednačine u treću dobijamo:
γ + δ = 90°
Tales nije bio prvi koji je poznavao ovu činjenicu, jer su je i Egipćani
i Vavilonci poznavali empirijski. Teorema je dobila ime po Talesu koji
ju je prvi dokazao.
Posmatrajući pojedine predmete, pojave i procese u prirodi našao je
nešto nepromenljivo, iz čega sve proizilazi i u što se sve razrešava,
a to je voda! Voda je preosnova svega i voda je za njega ne samo prapodloga
života nego i apsolutni kosmički princip. Smatra se da je ustanovio godišnja
doba i da je godinu podelio na 365 dana. Moreplovce je upućivao da prate
sazvežđe Malog medveda, jer ono najbolje pokazuje sever, prorekao je pomračenje
sunca( 28.maja 585. godine pre n.e.), za Zemlju je smatrao da je okrugla
ploča koja pliva na vodi. Tales nije imao učitelje. U Egiptu se družio
sa sveštenicima. Priča se da je Tales izmerio visinu piramida na osnovu
senki, posmarajući trenutak kada je naša senka iste dužine kao i naše
telo.
Zanimljivost: Tales se bavio trgovinom. Prevozio je so
na mulama koje su na svom putu trebale preći potok. Jedna je mula bila
neposlušna, ali i snalažljiva. Da bi se rešila tereta, mula se izvaljala
u vodi i tako rastopila svu so. Tales ju je nadmudrio. Natovario ju je
sa sunđerima umesto soli. Kad se je izvaljala u vodi, više se nije mogla
podići. Tako ju je Tales uspeo opametiti.
Tales se bavio astronomijom. Voleo je da posmatra zvezde. Jedne noći izašao
je ispred kuće. Gledajući zvezde na nebu, pao je u rupu. Platon o tome
piše kao da je pao u bunar. Lepa tračka robinja mu se narugala : “Tales
bi hteo da zna šta se zbiva na nebu, a ne zna šta mu se zbiva pod nogama.”
Pitagora
(569-500. godina pre n.e.)
U matematici se više zna i pominje Pitagora,
verovatno zbog toga što je za sobom ostavio školu tzv. pitagorejce koji
su se uprkos i najžešćem proganjanju, održali dugo posle njegove smrti.
Smatra se da je Pitagora, kao i Tales svoje znanje doneo u mnogome iz
Egipta. Pitagora je rođen na grčkom ostrvu Samosu, u Jonskom moru oko
569. godine p.n.e . Otac mu je bio trgovac, pa je Pitagora bio s njim
na putovanjima. Misli se da su na Pitagoru najjače uticala tri filozofa:
Ferekid, Tales i Anaksimander koji su ga upoznali sa matematičkim idejama.
Pitagora je osnovao tajno bratstvo u Krotonu, u južoj Italiji koje je
predstavljalo jednu od mnogih škola čiji su se učitelji međusobno kritikovali
i vodili debate. Jedna od prvih škola koja se suprotstavila pitagorejskom
učenju bila je Zenonova škola koja je osnovana u Eleji u južnoj Italiji.
Zenon je u vreme Pitagorine smrti izneo optužnicu, predlažući niz zagonetki
u kojima i naši savremenici vide duboke probleme.
U traganju za večnim zakonima vasione, pitagorejci su izučavali geometriju,
aritmetiku, astonomiju i muziku (kvadrijum). Pitagorejci su brojeve delili
na klase: parne, neparne, parno-neparne, neparno-neparne, proste i složene,
prijateljske, trougaone, četvorougaone, petougaone... Najinteresantnije
rezultate postigli su u proučavanju „trougaonih“ brojeva koji su povezivali
geometriju i aritmetiku.
.
. . .
. 1, . . 3, . . . 6, itd.
Naš termin „kvadratni brojevi“ potiče od pitagorejskih konstrukcija:
. . .
. . . . .
. 1, . . 4, . . . 9, itd.
Brojevi su postali osnova njihove filozofije vasione. Nastojali su da
sve odnose svedu na numeričke odnose (sve je broj). Tačka je bila jedinstvenost
u položaju. Naročito je bio značajan onos brojeva. Jednakost odnosa čini
proporciju. Oni su razlikovali aritmetičku, geometrijsku i harmonijsku
proporciju.
Pitagorejcima su bile poznate neke osobine pravilnih mnogouglova i pravilnih
poliedara. Oni su pokazali kako se ravan može popuniti sistemom pravilnih
trouglova, kvadrata ili pravilnih šestouglova, a prostor-sistemom kocki.
Najznačajnije od otkrića koja su pripisivana pitagorejcima bilo je otkriće
racionalnosti u vidu nesamerljivih duži. Moguće je da su do tog otkrića
došli proučavanjem geometrijske sredine koja je naročito interesovala
pitagorejce, a služila je kao simbol aristokratije. Čemu je jednaka geometrijska
sredina jedinice i dvojke? Traženje odgovora vodi izučavanju odnosa stranice
i dijagonale kvadrata i pronađeno je da se taj odnos ne izražava „brojem“,
tj. onim što mi danas nazivamo racionalnim brojevima. To otkriće je narušilo
prirodnu harmoniju između aritmetike i geometrije.
Dok je boravio u Egiptu, prijavio se i bio primljen u sveštenstvo gde
je učio o geometriji i sveštenicima npr. da ne jedu grašak, ne nose kožnu
odeću, žude za potpunom čistoćom i tajnosti. O Pitagori se malo zna baš
zbog toga, jer je sledio egipatska uverenja: rad u potpunoj tajnosti,
tako da nije ostala zabelžena ni jedna njegova knjiga.
Pitagorinu teoremu su pitagorejci pripisivali svome učitelju i pričali
da je on kada ju je pronašao prineo kao žrtvu bogovima sto bikova u znak
zahvalnosti. Međutim, ta teorema je bila poznata i u Vaviloniji u vreme
Hamurabija, ali je verovatno,
da je prvi opšti dokaz te teoreme dat u pitagorejskoj školi.
Legenda kaže da je čekajući u predvorju palate da ga primi tiranin Polikrat,
Pitagora se zagledao u kamene pločice na podu. Tako mu je sinula ideja:
zbir kvadrata nad katetema jednak je kvadratu nad hipotenuzom!
Teorema: Neka su a i b katete pravouglog trougla, a
c njegova hipotenuza. Tada je zbir kvadrata nad katetama jednak kvadratu
nad hipotenuzom.
a²+ b² = c²
Jedan od dokaza :
Pravougli trougao sa stranicama a, b, c podudaran je sa
preostala tri trougla unutar označenog kvadrata. Površina kvadrata nad
hipotenuzom odgovara zbiru površina ta četiri pravougla trougla zajedno
sa površinom malog kvadrata između njih.
Razvijanje matematike u tom periodu sastojalo se pre svega
u pronalaženju novih geometrijskih istina, pre svega geometrijskih teorema
i njihovih dokaza. U procesu dokazivanja novih stavova došlo se do problema
koji se rešavaju teško ili nikako. Tako su nastali izvesni problemi koji
su postali čuveni i oko kojih su mnogi, vekovima okušavali sreću, ali
uzalud. Ono što ti problemi zahtevaju nije uopšte moguće.
To su, pre svega, sedeća tri problema:
1. Udvostručenje kocke, tzv. Delski problem (po ostrvu
Delu), koji se sastoji u tome da treba konstruisati kocku čija je zapremina
dvaput veća od zapremine zadate kocke.
2. Trisekcija ugla, tj. podela ugla na tri jednaka dela,
tj. konstrukcija ugla koji je po veličini trećina datog ugla.
3. Kvadratura kruga, tj. konstrukcija kvadrata kome je
površina jednaka površini datog kruga, ili konstrukcija duži koja ima
dužinu obima kruga.
Problem je u tome što se podrazumeva da konstrukciju treba obaviti samo
pomoću lenjira i šestara, a koristeći ove dve najprostije sprave ne možemo
sve konstruisati. U prvo doba razvića geometrije javili su se pronalasci
nekih sprava pomoću kojih bi se pomenuta konstrukcija mogla izvršiti.
Pod Platonovim uticajem i uticajem
matematičke škole rešeno je da se u geometriji jedino dopuste lenjir i
šestar. To znači da sve što se u geometriji konstruiše treba konstruisati
samo povlačenjem pravih i krugova (ili kružnih lukova). Da je konstrukcija
u navedenim slučajevima nemoguća lako se uveravamo, ako se poslužimo metodom
analitičke geometrije koja rešava geometrijske zadatke algebarski, pomoću
jednačina. Svakoj pravoj odgovara jednačina prvog stepena, a svakom krugu
jednačina drugog stepena.
Jednačina prave:
y = ax + b,
a jednačinu kruga:
(x − p)² + (y − q)² = r².
Svakoj konstrukciji prave ili kruga u toku rešavanja geometrijskog zadatka
odgovara uvođenje jedne takve jednačine, a svakom sečenju pravih i krugova
odgovara traženje zajedničkih rešenja takvih jednačina. Dakle, svaka geometrijska
konstrukcija ostavlja nas u oblasti jednačina prvog i drugog stepena i
prema tome, sve što se pomoću šestara i lenjira može konstruisati, rešava
se u analitičkoj geometriji samo pomoću jednačina prvog i drugog stepena.
No, prva dva od navedenih problema rešavaju se u analitičkoj geometriji
tek jednačinom trećeg stepena, a treći problem niti jednačinom kojeg bilo
vižeg stepena, nego tek jednom od tzv. transcendentnih jednačina. Dakle,
rešenje tih problema, kakvo se traži, ne postoji.
Razvoj matematike se sastojao pored nalaženja novih činjenica geometrije
i u koriščenju deduktivne metode u geometriji. Težište se prebacuje na
dokazivanje date istine, u logičnom svođenju na neke druge, jednostavnije
polazne geometrijske istine. Dedukcija dovodi do sistematisanja stečenog
znanja. To će dati Euklidove elemente.
Euklid
(330. pre.n.e. – 275. pre.n.e.)
Euklid je bio Platonov student u Atini, dok
je većinu života proveo radeći u Aleksandriji, u Egipatu, gde je osnovao
matematičku akademiju. Aleksandrija je više od šesto godina bila centar
nauke. Na univerzitetu i biblioteci došlo je do procvata egzaktnih nauka,
naročito matematike. Euklid je napisao brojna dela, od kojih neka nisu
sačuvana i poznata su samo po naslovu. Sačuvana su dela: „Elementi“, „Data“,
„Optika“ i dr. Negevo najčuvenije delo su "Elementi", koje je
uticalo na zapadno akademsko mišljenje. Smatra se da su nastali oko 325-te
godine pre n.e. dok je Euklid još živeo u Atini. Za "Elemente"
se kaže da je posle Biblije u ljudskoj istoriji najviše proučavano, prevođeno
i štampano delo. Doživelo je 1700 izdanja. Delo sadrži razne vrste tvrđenja,
definicije, dve vrste stavova koji se ne dokazuju, aksiome i postulate,
stavove koji se dokazuju, odnosno pretpostavke koje se javljaju u obliku
tvrđenja i tada ih zovemo teoremama. Euklid je sistematski opisivao ono
što je izučavao, postavljao je više aksioma i postulata, teoreme je izvodio
iz već izvedenih zaključaka, posledice i pouke. Razlika između aksioma
i postulata u Euklidovim radovima je u tome što su aksiomi više opšte
matematičke, a postulati geometrijske pretpostavke. Tako logičan metod
istraživačkog rada održao se do dana današnjeg. Elementi su pisani u trinaest
tomova, a u njima je Euklid izneo i nalaze svojih prethodnika, Pitagore
i drugih, u vidu sistematskih dokaza, teorija i originalnih nalaza. U
prvih šest tomova detaljno je obradio geometriju ravni: trouglove, kvadrate,
pravougaonike, krugove, kao i teoriju proporcija. Sledeća četiri toma
obuhvataju razne teorije, uključujući i teoriju o neograničenim brojevima.
Poslednja tri toma obrađuju geometriju tela. Neki Euklidovi aksiomi (kao
teorema o paralelnosti) opovrgnuti su u devetnaestom veku, a Albert Ajnštajn
izneo je tvrdjenje da Euklidova geometrija ne važi u vasioni.
U odnosu na druge naučne oblasti, geometrija je dostigla zavidan nivo
oko 300. godine pre.n.e. pojavom dela "Elementi". Tada u matematici
geometrija dominira, pa su i brojevi interpretirani geometrijski. Euklid
je pokušao da izlaganje bude strogo deduktivno i upravo zbog te doslednosti
"Elementi" su vekovima smatrani najsavršenijim matematičkim
delom. Mnoge generacije matematičara i drugih naučnika su učili iz ove
knjige kako se logički zaključuje i novo povezuje s ranije utvrđenim činjenicama.
Kasnije su "Elementi" analizirani i dopunjavani. Posebnu pažnju
su privlačili aksiomi i postulati. U “Elementima” se nalazi i dokazane
su je 464 teoreme koje se i danas na isti način dokazuju.
Prvu knjigu elemenata Euklid počinje nizom definicija kojim uvodi prve
geometrijske pojmove. Evo neke od njih:
1. Tačka je ono što nema delova.
2. Linija je dužina bez širine.
3. Krajevi linije su tačke.
4. Prava linija je ona, koja za tačke na njoj podjednako leži.
5. Površina je ono što ima samo dužinu i širinu.
6. Krajevi površine su linije.
7. Ravan je površina koja za prave na njoj podjednako leži.
8. Ugao u ravni je uzajamni nagib dveju linija u ravni, koje se stiču
i koje ne leže u istoj pravoj.
U drugoj knjizi definiše pravougaonik i gnomon. U trećoj i četvrtoj definicije
su vezane za krugove i poligone. U petoj su one koje se odnose na proporcionalnost,
a u šestoj na sličnost. U sedmoj se definišu pojam broja, parnosti i neparnosti,
prostih i složenih brojeva. Osma i deveta knjiga ne sadrže definicije,
a u desetoj se definicije odnose na samerljivost. Poslednje tri knjige
čine celinu i sve definicije se odnose na stereometriju i nalaze se na
početku jedanaeste knjige.
Kao što je već rečeno, osnovne stavove je Euklid podelio na aksiome i
postulate.
Postulati:
"Neka se pretpostavi:
1. Da se može povući od svake tačke ka svakoj drugoj tački prava linija.
2. I da ograničena prava može biti produžena u svom pravcu neprekidno.
3. I da se može opisati od svakog središta svakim rastojanjem krug.
4. I da su svi pravi uglovi jednaki među sobom.
5. I da će se, ako jedna prava u preseku sa drugim dvema obrazuje sa iste
strane dva unutrašnja ugla čiji je zbir manji od dva prava ugla, te dve
prave, beskrajno produžene, seći i to sa one strane sa koje su ovi uglovi
manji od dva prava.
Peti postulat je izazvao najviše polemike. Smatralo se da peti postulat
ne treba da bude jedan od osnovnih stavova.
Aksiomi:
1. Oni (objekti) koji su jednaki istom (objektu) jednaki su međusobno.
2. I ako se jednakim (objektima) dodaju jednaki (objekti) celine su jednake.
3. I ako se od jednakih (objekata) oduzmu jednaki (objekti) ostaci su
jednaki.
4. I ako se nejednakim (objektima) dodaju jednaki (objekti) celine su
nejednake.
5. I udvostručeni jednaki (objekti) jednaki su međusobno.
6. I polovine od jednakih (objekata) jednaki su međusobno.
7. I oni (geometrijski objekti) koji se mogu poklopiti jednaki su međusobno.
8. I celina je veća od dela.
9. I dve prave ne ograničavaju oblast.
Po mišljenju Rasela, Elementi su "nesumnjivo jedna od najvećih knjiga
koja je ikada napisana i jedan od najsavršenijih spomenika grčkog uma".
Arhimed
(287. pre n.e.-212. pre n.e.)
Arhimed iz Sirakuze, smatra se jednim od trojice najgenijalnijih
matematičara svih vremena, bio je vrhunac helenske matematike
i najveći fizičar starog veka. Rodio se 287. godine pre nove ere. Otac
Arhimedov bio je Fidija. Fidija se bavio matematikom i astronomijom. U
vreme Arhimedovog rođenja Fidija je bio relativno siromašan građanin,
kakvih je u Sirakuzi bilo mnogo. Međutim njegovo siromaštvo nije bilo
dugog veka jer je uskoro njihov rođak, Hijeron zavladao gradom. Fidija
je svog sina naučio svemu što je sam znao.
Arhimed je brzo primio očevo znanje. Njegov duh tražio je još znanja i
učenja, a to mu niko nije mogao pružiti u Sirakuzi. Stoga je otišao u
Aleksandriju gde su moćni Ptolomejevići osnovali čuvenu Aleksandrijsku
biblioteku. U to vreme Aleksandrija je bila središte prirodnih nauka,
što je tada obuhvatalo astronomiju, matematiku, medicinu i filologiju.
Arhimed u Aleksandriji nije postao ono što je mogao i što su najčešće
postajali daroviti matematičari, pesnici i medicinari - dvorski čovek
koji će kroz svoja dela veličati vladajuću kuću. Njega je pre svega i
jedino zanimala matematika.
U Aleksandrijskoj biblioteci radilo se mnogo mladih i sposobnih matematičara.
Najsvestraniji bio je Eratosten, budući Arhimedov prijatelj. Nepisano
pravilo je nalagao da svako otkriće pre objavljivanja mora biti poslano
nekom drugom matematičaru na proveru. Tako su vršnjaci, Arhimed i Eratosten
sve do Arhimedove smrti razmenjivali brojna pisma u kojima su se nalazila
gotovo sva otkrića i jednog i drugog. Vrativši se u Sirakuzu, Arhimed
se u početku bavio astronomijom. Sirakuza nije dugo mogla uživati svoju
slobodu te se stoga Arhimed spremao za obranu svoga grada kako je znao
i umeo.
Arhimed, u vreme rada na problemima, nije video ništa drugo osim problema
koji je rešavao. On je zaboravljao na jelo i prilike u kojima je radio.
Heureka! Heureka! (grč. prefiks glagola heursiko
- nađem, izračunam, izmislim) Našao sam, uzviknuo je Arhimed
kada je, sedeći u kupatilu, otkrio fizički zakon da svako telo, potopljeno
u tečnost, istisne iz posude onu količinu tečnosti kolika je njegova sopstvena
zapremina. Taj gubitak je u stvari potisak tečnosti.
Za skoro celu Sirakuzu, Arhimed je bio lud, a on će sve te ljude koji
su ga okruživali odbraniti od Rimljana i tako im sačuvati živote. Arhimed
se bavio običnim, praktičnim problemima, koji su bili primenjivani na
mnogim mestima, od polja do rudnika, za razliku od nekih njegovih kolega.
Najveću slavu stekao je svojim raspravama o zarobljenim geometrijskim
telima, izračunao je opseg i površinu kruga, površinu odsečka parabole,
obim kugle, površinu elipse itd. Pri tom se služio metodama kojima se
danas služimo u diferencijalnom i integralnom računu, tako da se Arhimed
smatra tvorcem integralnog računa. Našao je način za pisanje vrlo velikih
brojeva. Pokazao kako se matematika može primeniti na mehaniku, otkrio
zakone poluge, uzgona (tzv. Arhimedov zakon), određivanje težišta, izumeo
vijak, unapredio statiku. On je pronašao zakone poluge, postavio osnove
hidrostatike i odredio približnu vrednost broja π.
Arhimed je poginuo za vreme opsade Sirakuze. Poginuo je od mača rimskog
vojnika u rodnom gradu Sirakuzi, koja je dve godine odolevala Rimljanima
zahvaljujući spravama i mašinama, koje je Arhimed sastavio od poznatih
jednostavnih alata (npr. dizalice za dizanje i bacanje brodova, vrstu
katapulta za bacanje velikog kamenja idr.). Kada je Sirakuzu nakon dve
godine zauzeo Marcellus, rimski vojskovođa, dao je nalog da se zaštiti
Arhimed, ali ga rimski vojnik nije prepoznao i ubio ga 212 godine. Prema
Liviju, prilikom zauzeća Sirakuze, Arhimed je mirno crtao geometrijske
slike i doviknuo rimskom vojniku, koji je na njega nasrnuo: »Nemoj kvariti
moje krugove«. Prema njegov želji podignut je na njegovom grobu spomenik,
na kojem su dva geometrijska tela: valjak i kugla.
O njegovoj nauci svedoče neke zgode iz njegovog života koje se prepričavaju
sve do danas, npr. kako je pomoću paraboličkih ogledala spalio rimske
brodove prilikom opsade Sirakuze, kako je pomoću velike poluge podigao
veliki brod iz brodogradilišta i tada je rekao da bi isto tako mogao podići
i celu Zemlju kad bi našao tačku oslonca za polugu.
S velikom veštinom Arhimed primenjuje geometrijska razmatranja da bi izvršio
konstrukciju tangente na spirali (pužnoj liniji) koju je on naročito ispitivao
i koju nazivamo njegovim imenom, da bi izvršio kvadraturu isečka spirale
s vrhom u njenom središtu. Tu svoju spiralu definiše Arhimed na sledeći
način: Neka se poluprava p obrće u ravni oko svoga kraja O stalnom brzinom,
i neka se istovremeno na polupravoj p tačka P udaljuje od O stalnom brzinom.
Tada tačka P opisuje u ravni izvesnu liniju — Arhimedovu spiralu!
Arhimedova spirala
Sugrađani nisu smeli održavati grob svog velikog mislioca za vreme opsade.
Njega je jedva pronašao Ciceron i to zahvaljujući crtežu lopte i valjka
koji se nalazio na spomeniku iznad nekoliko stihova urezanih velikom matematičaru
u spomen. Odmah sam rekao predstavnicima Sirakuze koji su me pratili da
je pred nama bez sumnje Arhimedov nadgrobni spomenik. I zaista, čim su
pozvali ljude da iseku korov i da nam prokrče put i čim smo se približili
ovom stubu, videli smo u njegovom podnožju natpis. Deo uklesanih stihova
mogao se još pročitati, sve ostalo je satrlo vreme.
Najpoznatija dela su: O kvadraturi parabole, O lopti i valjku, O računu
sa peščanim zrncima, O ravnoteži ravnih likova, O merenju kruga, O plivanju
tela, O konoidima i sferoidima.
U ratu sa Rimljanima 47. godine pre n.e. izgorela je Aleksandrijska
biblioteka. To je bio jedan od najtežih gubitaka koje je nauka pretrpela.
Posle propasti Aleksandrijske
biblioteke postojala je velika biblioteka u Maloj Aziji koja je preneta
u Aleksandriju. Godine 342. uništena je i druga biblioteka u naletu rulje
koja je bila fanatizovana od hrišćanskog arhiepiskopa. Poslednji matematičari
nestaju iz Aleksandrije u V veku. Time se završava cvetanje nauke u Aleksandriji.
Posle toga je središte naučnog života bila stara Platonova Akademija u
Atini. Već oko 100 godina kasnije, 529. godine, car Justinijan je zabranio,
pagansku nastavu i zatvorito Akademiju.
LITERATURA:
[1] E. T. BELL, VELIKI MATEMATIČARI, ZNANJE ZAGREB, 1972.
[2] M. RADOJČIĆ, OPŠTA MATEMATIKA, preuzeto sa www.matf.bg.ac.yu/~zlucic/opstamat.pdf
[3] www.wikipedia.org
[4] www.mathos.hr/~bruckler/skripta/Grcka.pdf
[5] skole.htnet.hr
PROČITAJ
/ PREUZMI I DRUGE SEMINARSKE RADOVE IZ OBLASTI:
|
|
preuzmi
seminarski rad u wordu » » »
Besplatni
Seminarski Radovi
|
|